高尔顿板（Galton Board），又称豆机（Bean Machine），是英国统计学家弗朗西斯·高尔顿（Francis Galton）在 19 世纪发明的装置。它用简单的机械结构展示了概率论中一个深刻的结论：大量独立随机事件的结果，在统计上会趋近于正态分布。
模拟器通过动画形式重现这一经典实验：小球从顶端下落，经过层层钉子的随机碰撞，最终落入底部的收集槽。你可以观察单颗小球的随机路径，也可以一次性释放上千颗小球，亲眼见证柱状图如何从零散分布逐渐收敛为优美的钟形曲线。
设钉子有 \(N\) 行（模拟器中可在 6 至 16 行之间调节）。每经过一行钉子，小球有 50% 的概率弹向右侧。一颗小球从起点到落槽，相当于做了 \(N\) 次独立的伯努利试验。
设 \(X\) 为小球最终所落的槽编号（0 到 \(N\)），则 \(X\) 服从参数为 \((N, 0.5)\) 的二项分布：
其中 \(\binom{N}{k}\) 是二项式系数，表示小球途经的路径数：从第 1 行到第 N 行，每次选择向左或向右，最终到达槽 \(k\) 的路径恰好有 \(\binom{N}{k}\) 条。
当 \(N\) 足够大时，二项分布 \(B(N, p)\) 可以由正态分布（高斯分布）来近似。这是棣莫弗-拉普拉斯定理（De Moivre–Laplace）的核心结论——也就是中心极限定理的早期形式。
概率密度函数为：
模拟器中的红色虚线就是这条理论正态曲线。当你释放的球数越多，柱状图的轮廓就会越紧贴这条曲线。
一颗小球落在中间槽的概率最大，因为到达中间位置的路径数量最多（二项式系数在 \(k = N/2\) 处取最大值）。落在两端的概率则指数级衰减。释放大量小球后，这种路径数的差异就显现为高低错落的柱状图——中间高、两边低，恰如正态分布的钟形。
滑块可调节 6 至 16 行钉子。行数越多，槽位越多（行数 + 1），分布越趋向平滑的正态曲线。建议先用 10 行的默认设置体验，再尝试极端值。
| 按钮 | 行为 | 适合场景 |
|---|---|---|
| 1 颗 | 释放一颗小球，完整动画展示其随机路径 | 观察单次随机轨迹 |
| 10 颗 | 逐颗释放 10 颗，短间隔 | 初步看到分布雏形 |
| 100 颗 | 分批快速释放 100 颗 | 柱状图初具钟形 |
| 1000 颗 | 分批并行快速释放，每批 12 颗同时下落 | 大量样本，观察与理论曲线的吻合 |
| 连续下落 | 持续释放，保持画布上约 3 颗球同时下落 | 动态演示、课堂展示 |
三档速度（慢 / 中 / 快）控制小球动画的播放速率。不影响概率结果，纯粹调节视觉节奏。
开启后，柱状图上方叠加红色虚线——理论正态分布曲线。总球数小于 10 时曲线自动隐藏，以免与稀疏的柱状图对照产生误导。大量落球后，可以直观对比柱状图与理论曲线的吻合程度。
点击画布任意位置即可释放一颗小球。键盘按空格键也可释放，按 R 键重置。适合课堂上一颗一颗演示，引导学生思考“这一颗会落在哪里？”。
底部每个收集槽上方绘制对应球数的柱状条，高度与当前槽内球数成正比。每个柱子上方标注具体球数，方便直观比对各槽之间的差异。最高柱的顶部与理论正态曲线峰值对齐，便于观察实际分布与理论曲线的吻合程度。
高尔顿板的美妙之处在于：它让抽象的统计规律变得可见、可触摸。单个小球的落点是完全无法预测的——你想不到它会弹到哪个槽；但成百上千颗小球汇集在一起，总会勾勒出同一条钟形曲线，分毫不差。
这是理解以下概念的最佳切入点：
移动端采用与项目中其他模拟器一致的侧边栏抽屉模式。768px 以下宽度时控制面板自动隐藏为侧滑菜单，点击汉堡按钮展开。画布自适应屏幕，钉子间距、球体尺寸均按画布高度等比缩放。触屏点击画布即可释放小球。